等比数列所有公式大全

等比数列所有公式大全如下：

1 、通项公式：等比数列的通项公式是：an=a1xq^（n-1） 。其中，an表示第n项 ，a1表示第一项
，q是公比，n是项数
。

2
、求和公式：等比数列的求和公式可以根据项数分为两种：当q=1时 ，等比数列的求和公式为：Sn=a1+a2+a3+...+an=a1（1-g人n）/（1-q）。当q=1时，等比数列的求和公式为：Sn=nxa1 。

3、等比中项：如果三个数a 、b、c成等比数列
，那么b叫做a
、c的等比中项等比中项的公式是：aqap=ar^2，ar则为ap ，aq等比中项。

4、性质：若m 、n
、p、geN
，且m+n=p+g，则aman=ap aq
。在等比数列中 ，依次每k项之和仍成等比数列。

利用等比数列公式解决实际问题的方法：

1 、投资与利率：利用等比数列的性质
，我们可以计算出未来某一时点的资金价值，从而制定更加明智的投资策略 。

2
、人口增长与生物繁殖：利用等比数列的性质 ，我们可以预测未来某个时刻的人口数量或者生物数量
，从而制定更加有效的资源分配和环境保护策略
。

3、计算机科学：利用等比数列的性质，我们可以设计更加高效的算法和数据结构 ，从而提高计算机程序的性能和效率。

4 、统计学：利用等比数列的性质
，我们可以更加准确地计算各种概率分布的值，从而更好地理解数据的分布情况 。

5
、音乐与艺术：利用等比数列的性质 ，我们可以更好地理解和处理音乐和艺术的规律和技巧，从而创作出更加优美和和谐的艺术作品
。

通项公式

（见图）（又叫“比内公式”
，是用无理数表示有理数的一个范例。）　注：此时a1=1，a2=1 ，an=a(n-1)+a(n-2）（n>=3,n∈N*）

通项公式的推导

斐波那契数列：1、1 、2
、3、5 、8、13
、21、……　如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N+） 。那么这句话可以写成如下形式：　F(0) = 0
，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2） ，　显然这是一个线性递推数列
。　方法一：利用特征方程（线性代数解法）　线性递推数列的特征方程为：　X^2=X+1　解得　X1=(1+√5)/2,
，X2=(1-√5)/2。　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n 。　∵F(1)=F(2)=1
。　∴C1*X1 + C2*X2。　C1*X1^2 + C2*X2^2 。　解得C1=√5/5，C2=-√5/5。　∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）
。　方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）　设常数r ，s。使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 。　则r+s=1
， -rs=1
。　n≥3时，有。　F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 。　F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
。　F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。　……　F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)] 。　联立以上n-2个式子 ，得：　F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
。　∵s=1-r
，F(1)=F(2)=1。　上式可化简得：　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1） 。　那么：　F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）
。　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3） 。　……　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1）。　= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）
。　（这是一个以s^(n-1）为首项 、以r^(n-1）为末项
、r/s为公比的等比数列的各项的和）。　=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s） 。　=(s^n - r^n)/(s-r）
。　r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2 ，r=(1-√5)/2。　则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n} 。　方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）　已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式
。　解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。　得α+β=1 。　αβ=-1
。　构造方程x^2-x-1=0
，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2 ，β=(1-√5)/2。　所以 。　an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1
。　an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。　由式1
，式2，可得 。　an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。　an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4
。　将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2 ，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。 <