北京版小学数学几年级学的比

六年级下册 。

六年级下册
。第七集 ，比的认识。使学生认识正、反比例应用题的特点 。理解掌握用比例答题的解题思路和解题方法
，学会正确的解答基本的正反比例应用题
。

进一步培养学生应用知识进行分析，推理的能力 ，发展学生的思维。

第一单元 圆

圆概念总结

1．圆的定义：平面上的一种曲线图形 。

2．将一张圆形纸片对折两次
，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心
。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等．

3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径 。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开 ，两脚之间的距离就是圆的半径
。

4．圆心确定圆的位置
，半径确定圆的大小。

5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径 。直径一般用字母d表示
。

6．在同一个圆内，所有的半径都相等 ，所有的直径都相等。

7．在同一个圆内，有无数条半径
，有无数条直径 。

8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍 ，半径的长度是直径的一半
。

用字母表示为：d＝2r r ＝ d

用文字表示为：半径=直径÷2 直径=半径×2

9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

10．圆的周长总是直径的3倍多一些
，这个比值是一个固定的数 。我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母表示
。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时 ，取 3.14 。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之
。

11．圆的周长公式：C= d 或C=2 r

圆周长= ×直径 圆周长= ×半径×2

12 、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。

13．把一个圆割成一个近似的长方形
，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母（ r）表示 ，宽相当于圆的半径
，用字母（r）表示，因为长方形的面积=长×宽 ，所以圆的面积= r×r 。圆的面积公式：S＝ r?。

14．圆的面积公式：S＝ r?　或者S= （d 2）? 或者S= （C 2）?

15．在一个正方形里画一个最大的圆
，圆的直径等于正方形的边长
。

16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。

17．一个环形 ，外圆的半径是R，内圆的半径是r
，它的面积是S= R?－ r?　或　S= （R?－r?） 。

（其中R＝r＋环的宽度．）

19．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径
。半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径 ，而圆周长的一半没有直径。

半圆的周长公式：C＝ d 2＋d　或　C＝ r＋2r

圆周长的一半= r

20．半圆面积＝圆的面积 2公式为：S＝ r? 2

21．在同一个圆里
，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数 。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍
。

例如：在同一个圆里 ，半径扩大4倍
，那么直径和周长就都扩大4倍，而面积扩大16倍。

22．两个圆的半径比等于直径比等于周长比 ，而面积比等于以上比的平方 。

例如：两个圆的半径比是2：3
，那么这两个圆的直径比和周长比都是2：3，而面积比是4：9
。

圆周长和直径的比是 ：1 ，比值是

圆周长和半径的比是2 ：1
，比值是2

23．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2 a厘米；

当一个圆的直径增加a厘米时 ，它的周长就增加 a厘米。

24．在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几
，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几．

25．当长方形，正方形 ，圆的周长相等时
，圆的面积最大，长方形的面积最小

26．扇形弧长公式： 扇形的面积公式：　S= r? （n为扇形的圆心角度数 ，r为扇形所在圆的半径）

27．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折
，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形 。折痕所在的这条直线叫做对称轴
。

28． 有一条对称轴的图形有：角
、等腰三角形、等腰梯形 、扇形
、半圆。

有2条对称轴的图形是：长方形

有3条对称轴的图形是：等边三角形

有4条对称轴的图形是：正方形

有无数条对称轴的图形是：圆、圆环 。

29．直径所在的直线是圆的对称轴。

第二单元　百分数应用题

（一）百分数的基本概念

1．百分数的定义：表示一个数是另一个数的百分之几的数 ，叫做百分数
。百分数也叫做百分率或百分比。

百分数表示两个数之间的比率关系
，不表示具体的数量，所以百分数不能带单位 。

2．百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几
。

例如：25％的意义：表示一个数是另一个数的25％。

3．百分数通常不写成分数形式 ，而在原来分子后面加上“％”来表示 。分子部分可为小数 、整数
，可以大于100，小于100或等于100
。

4．小数与百分数互化的规则：

把小数化成百分数 ，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；

把百分数化成小数
，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

5．百分数与分数互化的规则：

　把分数化成百分数 ，通常先把分数化成小数（除不尽的保留三位小数）
，再把小数化成百分数；

　把百分数化成分数，先把百分数改写成分数 ，能约分的要约成最简分数 。

（二）百分数应用题

百分数应用题（一）

求增加百分之几？减少百分之几？

公式：增加百分之几=增加的部分÷单位1

减少百分之几=减少的部分÷单位1

例如：1
、45立方厘米的水结成冰后
，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？

解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1 ，先确定单位1是水
，已经知道是45：增加的部分不知道，可以利用50减45求得5；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几
。

计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米

第二步：增加的部分：50—45=5立方厘米

第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%

2、45立方厘米的水结成冰后 ，体积增加了5立方厘米
，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？

解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1，先确定单位1是水 ，已经知道是45：增加的部分是5立方厘米；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几。

计算步骤：第一步：单位1：水：45立方厘米

第二步：增加的部分： 5立方厘米

第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%

3 、水结成冰后，体积增加了5立方厘米
，冰的体积为50立方厘米，冰的体积比原来水的体积增加百分之几？

解题思路：根据公式增加百分之几=增加的部分÷单位1 ，先确定单位1是水
，不知道但可以根据题目“水结成冰后，体积增加了5立方厘米 ”知道水是少的 ，冰是多的
，所以可以用50—5求出水是45立方厘米 。加的部分是5立方厘米；；最后用增加的部分5÷单位1水的45就等于增加百分之几
。

计算步骤：第一步：单位1：水：50—5=45立方厘米

第二步：增加的部分： 5立方厘米

第三步：增加百分之几：5÷45=11.1%

4、“减少百分之几与增加百分之几
”的解题方法完全相同。

5
、与增加百分之几相同的还有“多百分之几”“提高百分之几 ”

“增长百分之几“等 。

与减少百分之几相同的还有“少百分之几
”“降低百分之几”“节约百分之几 ”等。

百分数应用题（二）

比一个数增加百分之几的数，比一个数减少百分之几的数
。

例如1、矣得小学去年有80名学生 ，今年的学生人数比去年增加了25%
，今年有多少名学生？

解题思路：单位1去年已经知道用乘法，增加用（1+25%）

算式：80×（1+25%）

2 、矣得小学去年有80名学生 ，今年的学生人数比去年减少了25%
，今年有多少名学生？

解题思路：单位1去年已经知道用乘法，减少用（1-25%）

算式：80×（1-25%）

3
、矣得小学今年有100名学生 ，比去年增加了25%，去年有多少名学生？

解题思路：单位1去年不知道用除法
，增加用（1+25%）

算式：100÷（1+25%）

4、矣得小学今年有100名学生，比去年减少了25% ，去年有多少名学生？

解题思路：单位1去年不知道用除法
，增加用（1-25%）

算式：100÷（1-25%）

百分数应用题（三）列方程解百分数应用题

1 、小明看一本书，第一天看了全书的25% ，第二天看了全书的20%
，第一天比第二天多看20页，这本书一共有多少页？

解题思路：单位1一本书不知道 ，可以选用方程或除法来解答。

根据“第一天比第二天多看20页
”可以知道第一天是多的
，第二天是少的，第一天减去第二天等于多出的20页 。

等量关系式：第一天—第二天=20页

方法1：解：设这本书一共有X页
。

由“第一天看了全书的25%”可以知道第一天等于全书乘以25% ，用X可以表示为25%X
，由“第二天看了全书的20% ”可以知道第二天等于全书乘以20%，用X可以表示为20%X.依据等量关系式“第一天—第二天=20页”可以列方程为：25%X—20%X=20

方法2：“第一天比第二天多看20页
”可以知道20页是第一天和第二天的差。要求单位1只要用20页除以20页的对于分率 。

列算式为：20÷(25%—20%)

2
、小明看一本书 ，第一天看了全书的25%，第二天看了全书的20%
，两天共看了20页，这本书一共有多少页？

等量关系式：由“两天共看了20页”可以知道第一天+等二天=20页
。

方程法：解：设这本书共有X页 ，则第一天为25%X
，第二天为20%X。

方程列为：25%X+20%X=20

算术法：由“两天共看了20页 ”可以知道20页是第一天和第二天的和，要求单位1只要用20页除以20页的对于分率 。

列算式为：20÷(25%+20%)

3、小明看一本书 ，第一天看了全书的25%
，第二天看了全书的20%，还剩20页 ，这本书一共有多少页？

等量关系式：一本书—第一天—第二天=20页

方程法：解设这本书一共有X页
，则第一天为25%X，第二天为20%X
。

列方程为：X—25%X—20%X=20

算术法：20÷（1- 25%X- 20%）

4 、小明看一本书 ，第一天看了全书的25%
，第二天比第一天多看10页，还剩20页 ，这本书一共有多少页？

方程法：解设这本书一共有X页，则第一天为25%X
，第二天为（25%X+10）页。

列方程为：X—25%X—（25%X+10）=20

百分数应用题（四）利息的计算

1.本金：存入银行的钱叫做本金 。

2．利息：取款时银行多支付的钱叫做利息
。

利息=本金×利率×时间

3．2008年10月9日以前国家规定，存款的利息要按20％的税率纳税。国债的利息不纳税 。2008年10月9日以后免收利息税。所以如无特殊说明 ，就不在计算利息税
。

4．利率：利息与本金的比值叫做利率。

5．银行存款税后利息的计算公式：税后利息＝利息×（1－20％）

6．国债利息的计算公式：利息＝本金×利率×时间

7．本息：本金与利息的总和叫做本息 。

8．应纳税额：缴纳的税款叫应纳税额
。

9．税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。

10．应纳税额的计算：应纳税额＝各种收入×税率

例如：李老师把2000元钱存入银行
，整存整取五年，年利率按4.14%计算 ，到期时
，李老师的本金和利息共有多少元？

解题思路：要求“本金和利息共有多少元
”应该用本金的2000元加上利息的 。

解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间”算利息

利息：2000×4.14%×5=414元

第二步：本金+利息：2000+414=2414元
。

例如：李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年 ，年利率按4.14%计算
，到期时，李老师的本金和利息共有多少元？（如果利息按20%来上税）

解题思路：要求“本金和利息共有多少元 ”应该用本金的2000元加上利息的。

解题步骤：第一步：根据“利息＝本金×利率×时间
”算利息

利息：2000×4.14%×5=414元

第二步：算税后利息：414×（1—20%）=331.2元

本金+利息：2000+331.2=233.2元 。

第三章 图形的变换

1
、 图形变换的三种方法：

第一种平移：要说明向什么方向（上、下 、左
、右）平移几个
。

第二种旋转：要说明绕哪个点 ，顺时针还是逆时针
，旋转多少度（90度、180度 、270度）

第三种作对称图形：要说明是关于哪条直线作哪个图形的对称图形。

2、比赛场次
、握手次数的计算

第一步：首先要算出有多少个人（或多少支队伍）进行比赛 。有多少个人进行握手
。

第二步：计算比赛场次、握手次数。如果是5人，从1加到4 ，如果是6人，从1加到5
，如果是8人，从1加到7 ，如果是100人
，从1加到99.

2 、 计算起跑线 。

假如：第一道的弯道半径是36米，每个道的跑道宽度是1.2米

那么：第二道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度=36+1.2。

第三道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2

第四道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度1.2米+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2

第五道的弯道半径=第一道的弯道半径+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度+跑道宽度=36+1.2+1.2+1.2+1.2

不同的两个道的起跑点相差多少米的算法：第一步：先算出要跑几圈
。第二步：计算出两个半圆性跑道所构成的圆的周长。第三步：有两个道的圆周长相减 ，就得出了在两个道种跑一圈的起点相差多少米 。第四步：用这个相差数×要跑的圈数.

第四单元 比的认识

（一）比的基本概念

1．两个数相除又叫做两个数的比
。比的前项除以后项所得的商
，叫做比值。

2．比值通常用分数
、小数和整数表示 。

3．比的后项不能为0
。

4．同除法比较，比的前项相当于被除数 ，后项相当于除数
，比值相当于商；

5．根据分数与除法的关系，比的前项相当于分子 ，比的后项相当于分母
，比值相当于分数的值。

6．比的基本性质：比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数（0除外），比值不变 。

（二）求比值

1、求比值：用比的前项除以比的后项

（三）化简比

1 、化简比：用比的前项除以比的后项求出分数的比值后 ，在把分数比值改成比
。

（四）比的应用

1
、比的第一种应用：已知两个或几个数量的和，这两个或几个数量的比
，求这两个或这几个数量是多少？

例如：六年级有60人，男女生的人数比是5：7 ，男女生各有多少人？

题目解析：60人就是男女生人数的和。

解题思路：第一步求每份：60÷（5+7）=5人

第二步求男女生：男生：5×5=25人 女生：5×7=35人 。

2、比的第二种应用：已知一个数量是多少
，两个或几个数的比，求另外几个数量是多少？

例如：六年级有男生25人 ，男女生的比是5：7
，求女生有多少人？全班共有多少人？

题目解析：“男生25人”就是其中的一个数量
。

解题思路：第一步求每份：25÷5=5人

第二步求女生： 女生：5×7=35人。 全班：25+35=60人

3 、比的第三种应用：已知两个数量的差，两个或几个数的比 ，求这两个或这几个数量是多少？

例如：六年级的男生比女生多20人（或女生比男生少20人）
，男女生的比是7：5，男女生各有多少人？全班共有多少人？

7
、要求量=已知量×

7、比在几何里的运用：

（1）已知长方形的周长 ，长和宽的比是a：b 。求长和宽 、面积。

长=周长÷2× 宽=周长÷2×面积＝长×宽

（2）已知已知长方体的棱长和
，长
、宽、高的比是a：b：c
。求长 、宽、高
、体积

长=棱长和÷4× 宽=棱长和÷4×

高=棱长和÷4×　体积＝长×宽×高

（3）已知三角形三个角的比是a：b：c，求三个内角的度数。

三个角分别为：

180×180×180×

（4）已知三角形的周长 ，三条边的长度比是a：b：c，求三条边的长度 。

三条边分别为：

周长×周长×周长×

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