二次函数全部知识求大神帮助

定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系： 一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0 ，a
、b、c为常数)
，则称y为x的二次函数。 顶点式：y=a(x-h)^2+k 交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2) 重要概念：（a，b ，c为常数
，a≠0，且a决定函数的开口方向 ，a>0时
，开口方向向上，a<0时 ，开口方向向下 。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大
。） 二次函数表达式的右边通常为二次。 x是自变量
，y是x的二次函数 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式) [编辑本段]二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的图像， 可以看出 ，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线 。不同的二次函数图像 [编辑本段]抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形
。对称轴为直线x = -b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P 。 特别地，当b=0时
，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b)/4a ) 当-b/2a=0时
，P在y轴上；当Δ= b-4ac=0时，P在x轴上
。 3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时 ，抛物线向上开口；当a＜0时
，抛物线向下开口 。 |a|越大，则抛物线的开口越小
。 4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab＞0） ，对称轴在y轴左； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0
，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a 、b要同号 当a与b异号时（即ab＜0） ，对称轴在y轴右 。因为对称轴在右边则对称轴要大于0
，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a
、b要异号 事实上 ，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到
。 5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 Δ= b-4ac＞0时
，抛物线与x轴有2个交点 。 Δ= b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点
。 _______ Δ= b-4ac＜0时 ，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b－4ac 的值的相反数
，乘上虚数i，整个式子除以2a） 当a>0时 ，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数
，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b/4a}相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴 ，这时
，函数是偶函数，解析式变形为y=ax+c(a≠0) 7.定义域：R 值域：（对应解析式 ，且只讨论a大于0的情况
，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b)/4a，正无穷）；②[t ，正无穷） 奇偶性：偶函数 周期性：无 解析式： ①y=ax+bx+c[一般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0
，则抛物线开口朝下； ⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b)/4a）； ⑷Δ=b-4ac, Δ＞0 ，图象与x轴交于两点： （[-b-√Δ]/2a
，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ＝0 ，图象与x轴交于一点： （-b/2a
，0）； Δ＜0，图象与x轴无交点； ②y=a(x-h)+t[配方式] 此时 ，对应极值点为（h
，t），其中h=-b/2a ，t=(4ac-b)/4a）； ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式] a≠0
，此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点 ，将X 、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用） 。 [编辑本段]二次函数与一元二次方程 特别地，二次函数（以下称函数）y=ax+bx+c
， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程） ， 即ax+bx+c=0 此时
，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根
。 函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1．二次函数y=ax，y=a(x-h) ，y=a(x-h) +k
，y=ax+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同 ，只是位置不同
，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 解析式 y=ax y=ax+K y=a(x-h) y=a(x-h)+k y=ax+bx+c 顶点坐标 (0，0) (0 ，K) (h
，0) (h，k) (-b/2a ，sqrt[4ac-b]/4a) 对称轴 x=0 x=0 x=h x=h x=-b/2a 当h>0时，y=a(x-h)的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到
， 当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到． 当h>0,k>0时 ，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位
，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象； 当h>0,k<0时 ，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位
，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象； 当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位 ，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图象； 当h<0,k<0时
，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象； 因此 ，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象
，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)+k的形式 ，可确定其顶点坐标
、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 2．抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时
，开口向上，当a<0时开口向下 ，对称轴是直线x=-b/2a
，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b]/4a)． 3．抛物线y=ax+bx+c(a≠0) ，若a>0
，当x≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时 ，y随x的增大而增大．若a<0
，当x≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时 ，y随x的增大而减小． 4．抛物线y=ax+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交
，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b-4ac>0 ，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x
，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x-x| 另外 ，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标） 当△=0．图象与x轴只有一个交点； 当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时
，图象落在x轴的上方，x为任何实数时 ，都有y>0；当a<0时
，图象落在x轴的下方，x为任何实数时 ，都有y<0． 5．抛物线y=ax+bx+c的最值：如果a>0(a<0)
，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b)/4a． 顶点的横坐标 ，是取得最值时的自变量值
，顶点的纵坐标，是最值的取值． 6．用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时 ，可设解析式为一般形式： y=ax+bx+c(a≠0)． (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)+k(a≠0)． (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时
，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)． 7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目 。因此 ，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题
，往往以大题形式出现． [编辑本段]中考典例 1．(北京西城区)抛物线y=x-2x+1的对称轴是( ) (A)直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2 考点：二次函数y=ax+bx+c的对称轴． 评析：因为抛物线y=ax+bx+c的对称轴方程是：x=-b/2a，将已知抛物线中的a=1 ，b=-2代入
，求得x=1，故选项A正确． 另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)+k的形式 ，对称轴为x=h
，已知抛物线可配方为y=(x-1)，所以对称轴x=1 ，应选A． 2．( 北京东城区)有一个二次函数的图象
，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x=4； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3． 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式： ． 考点：二次函数y=ax+bx+c的求法 评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2) ，且设x1＜x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1
，0)，B(x2 ，0)
，与y轴交点坐标是(0，ax1x2). 『因为顶点式a(x+x1)(x+x2),又因为与y轴交点的横坐标为0 ，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2 ∵抛物线对称轴是直线x=4
， ∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8 ①∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3 ， 即：x2- x1= ② ①②两式相加减
，可得：x2=4+，x1=4- ∵x1 ，x2是整数
，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数 ，共可取值为：±1，±3
。 当ax1x2=±1时
，x2=7，x1=1 ，a=± 当ax1x2=±3时
，x2=5，x1=3 ，a=± 因此
，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3) 即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3 说明：本题中，只要填出一个解析式即可 ，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5
，0)，B(3 ，0) 。再由题设条件求出a
，看C是否整数
。若是，则猜测得以验证 ，填上即可。 5．( 河北省)如图13-28所示，二次函数y=x-4x+3的图象交x轴于A 、B两点
，交y轴于点C，则△ABC的面积为( ) A
、6 B、4 C 、3 D
、1 考点：二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用 。 评析：由函数图象可知C点坐标为(0 ，3)
，再由x-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B两点之间的距离为2。那么△ABC的面积为3 ，故应选C
。 图13-28 6．( 安徽省)心理学家发现
，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0＜x＜30)。y值越大，表示接受能力越强 。 (1)x在什么范围内 ，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内
，学生的接受能力逐步降低？ (2)第10分时，学生的接受能力是什么？ (3)第几分时 ，学生的接受能力最强？ 考点：二次函数y=ax+bx+c的性质
。 评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.9
，根据抛物线的性质可知开口向下，当x＜13时 ，y随x的增大而增大，当x>13时
，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0＜x3＜0，所以两个范围应为0＜x＜13；13＜x＜30 。将x=10代入 ，求函数值即可
。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下： 解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9 所以
，当0＜x＜13时，学生的接受能力逐步增强 。 当13＜x＜30时 ，学生的接受能力逐步下降
。 (2)当x=10时
，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。 第10分时，学生的接受能力为59 。 (3)x=13时 ，y取得最大值
， 所以，在第13分时 ，学生的接受能力最强
。 9．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析
，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元 ，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： (1)当销售单价定为每千克55元时
，计算月销售量和月销售利润； (2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元 ，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)； (3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下
，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 解：(1)当销售单价定为每千克55元时 ，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)
，所以月销售利润为 :(55–40)×450=6750(元)． (2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40)元 ，所以月销售利润为： y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x+1400x–40000(元)
， ∴y与x的函数解析式为：y =–10x+1400x–40000． (3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000 ，∴–10x2+1400x–40000=8000
， 即：x2–140x+4800=0， 解得：x1=60 ，x2=80． 当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)
，月销售成本为： 40×400=16000(元)； 当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克) ，月销售单价成本为： 40×200=8000(元)； 由于8000＜10000＜16000
，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元． 19．2006义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势 ，全市实现生产总值 元
，已知全市生产总值＝全市户籍人口×全市人均生产产值，设义乌市2006年户籍人口为x（人） ，人均生产产值为y（元）． （1）求y关于x的函数关系式； （2）2006年义乌市户籍人口为706 684人
，求2006年义乌市人均生产产值（单位：元，结果精确到个位）：若按2006年全年美元对人民币的平均汇率计（1美元＝7.96元人民币） ，义乌市2006年人均生产产值是否已跨越6000美元大关？ 20．下图1为义乌市2005年
，2006年城镇居民人均可支配收入构成条形统计图。图2为义乌市2006年城镇居民人均可支配收入构成扇形统计图，城镇居民个人均可支配收入由工薪收入 、经营净收入、财产性收入
、转移性收入四部分组成 。请根据图中提供的信息回答下列问题： （1）2005年义乌市城镇居民人均工薪收入为________元 ，2006年义乌市城镇居民人均可支配收入为_______元； （2）在上图2的扇形统计图中，扇形区域A表示2006年的哪一部分收入：__________． （3）求义乌市2005年到2006年城镇居民人远亲中支配收入的增长率（精确到0．1℅） 19．解：（1） （x为正整数） （2）2006年全市人均生产产值= （元）（2分） 我市2006年人均生产产值已成功跨越6000美元大关（1分）

初三数学二次函数知识点归纳

解题思路：（1）根据配方法先提出二次项系数
，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

（2）画图象的步骤：列表、描点 、连线；

（3）当y＞0时 ，即图象在x轴上方的部分
，再写出x的取值范围．

（1）y=x2+4x+3，

y=x2+4x+4-4+3 ，

y=x2+4x+4-1
，

y=（x+2）2-1；

（2）列表：

x … -4 -3 -2 -1 0 …

y … 3 0 -1 0 3 …图象见图．

（3）由图象可知，当x＜-3或x＞-1时 ，y＞0．

点评：

本题考点： 二次函数的三种形式；二次函数的图象．

考点点评： 本题考查了二次函数的解析式的形式及抛物线的画法
，注意：二次函数的解析式的三种形式：

（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a
、b、c为常数）；

（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；

（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．

已知：二次函数y=x2+bx+c（b 、c为常数）．

二次函数作为初三数学重难考点之一 ，一直被很多同学头疼。下面我就整理了初三数学二次函数相关知识点
，供大家参考
。

1．二次函数的概念：一般地，形如（是常数 ，）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似
，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数 。

2.二次函数的结构特征：

⑴等号左边是函数 ，右边是关于自变量的二次式
，的最高次数是2
。

⑵是常数，是二次项系数 ，是一次项系数
，是常数项。

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b ，c为常数
，a≠0） 。

顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]
。

交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A（x? ，0）和B（x?
，0）的抛物线]。

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a 。

1.性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x ，y），都满足等式：y=kx+b
。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0
，b)，与x轴总是交于（-b/k ，0）正比例函数的图像总是过原点。

2.k
，b与函数图像所在象限：

当k＞0时，直线必通过一
、三象限 ，y随x的增大而增大；

当k＜0时
，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小 。

当b＞0时 ，直线必通过一 、二象限；

当b=0时
，直线通过原点；

当b＜0时，直线必通过三
、四象限
。

特别地 ，当b=O时
，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时 ，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时
，直线只通过二 、四象限 。

对于一般式：

①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称。

②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称
。

③y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx+c-b2/2a关于顶点对称。

④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称 。（即绕原点旋转180度后得到的图形）

对于顶点式：

①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称，即顶点(h,k)和(-h,k)关于y轴对称 ，横坐标相反
、纵坐标相同
。

②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称
，即顶点(h,k)和(h,-k)关于x轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。

③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称 ，即顶点(h,k)和(h,k)相同
，开口方向相反 。

④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称，即顶点(h,k)和(-h,-k)关于原点对称 ，横坐标 、纵坐标都相反
。（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）

解题思路：（1）由于二次函数的图象经过A、B两点
，可将它们的坐标代入二次函数的解析式中，即可求得待定系数的值； （2）已知抛物线的图象经过P点 ，可将其坐标代入（1）得出的解析式中
，即可求得m+n的值．

（1）把A（-2，-3）和B（2 ，5）两点代入y=x2+bx+c得?3＝(?2)2?2b+c5＝22+2b+c，解得b＝2c＝?3∴所求二次函数的解析式为y=x2+2x-3；（2）∵二次函数图象过点P（m+l
，n2+4n）∴n2+4n=（m+l）2+2（m+l）-3n2+4n=m2+4m（n-m）（n+m+4）=0∵m≠n，∴n+m+4=0即m+n=-4．

点评：本题考点： 待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征． 考点点评： 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法 ，同时还考查了方程（组）的解等知识
，难度不大．